几类特殊的矩阵、Schur 分解

关联阵

定义称 \(\overline{A}^\mathrm{T}\) 为 \(A\) 的关联阵，记为 \(A^\star\)。也称为共轭转置。

性质（1）\((A^\star)^\star=A\)

（2）\((A+B)^\star=A^\star+B^\star\)

（3）\((kA)^\star=\bar{k}A^\star\)

（4）\((A^\mathrm{T})^\star =(A^\star)^\mathrm{T}\)

（5）\((AB)^\star = B^\star A^\star\)

（6）若 \(A\) 可逆，则 \((A^{-1})^\star = (A^\star)^{-1}\)

命题设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则对任意 \(n\) 维列向量 \(\alpha,\beta\)，均有 \([A\alpha,\beta]=[\alpha,A^\star \beta]\)

证 \([A\alpha,\beta]=(A\alpha)^\star \beta=\alpha^\star A^\star \beta=[\alpha,A^\star \beta]\)

酉阵

定义若 \(n\) 阶方阵 \(A\) 满足 \(AA^\star = A^\star A=E\)，即 \(A^{-1}=A^\star\)，则称 \(A\) 为酉阵。

性质（1）若 \(A\) 是酉阵，则 \(A^\mathrm{T}, \overline A, A^{-1}=A^\star\) 都是酉阵。

（2）若 \(A\) 与 \(B\) 是两个 \(n\) 阶酉阵，则 \(AB\) 也是酉阵。

证（1）因为 \((A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^\mathrm{T} = (A^\star)^\mathrm{T}=(A^\mathrm{T})^\star\)

\((\overline A)^{-1}=\overline{(A^{-1})}=\overline{A^\star}=(\overline A)^\star\)

\((A^\star)^{-1}=(A^{-1})^\star=(A^\star)^\star\)

（2）\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = B^\star A^\star=(AB)^\star\)

命题 \(n\) 阶方阵 \(A\) 是酉阵 \(\iff A\) 的列向量是标准正交组 \(\iff A\) 的行向量是标准正交组。

证 \(A\) 是酉阵 \(\iff A^{-1} = A^\star \iff A^\star A=E \iff (A^\star A)(i,j) = \delta_{ij}\)，即 \((A(i))^\star\cdot A(j)=\delta_{ij}\)，即 \([A(i), A(j)]=\delta_{ij}\)，即 \(A\) 的列向量组为标准正交组。

又 \(A\) 是酉阵 \(\iff A^\mathrm{T}\) 是酉阵 \(\iff A^\mathrm{T}\) 的列向量组为标准正交组 \(\iff A\) 的行向量为标准正交组。

命题若 \(\alpha_1,\ldots ,\alpha_t\) 是 \(\mathbb{F}^{n}\) 中的标准正交组（\(t<n\)），则存在 \(n\) 维向量 \(\alpha_{t+1},\ldots ,\alpha_{n}\) 使 \(n\) 阶方阵 \(\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_t & \cdots & \alpha_n\end{pmatrix}\) 为酉阵。

定义实酉阵称为正交阵，即实矩阵 \(A\ (\overline{A}=A)\) 为正交阵 \(\iff A^{-1}=A^\mathrm{T}\)。

酉相似

定义设 \(A,B\) 为两个 \(n\) 阶方阵，若存在酉阵 \(U\) 使得 \(B=U^{-1}AU=U^\star AU\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 酉相似。记成 \(A\overset{\overline{U}}{\sim}B\)。

性质（1）\(A\overset{\overline{U}}{\sim}A\)；（2）\(A\overset{\overline{U}}{\sim}B\implies B\overset{\overline{U}}{\sim}A\)；（3）\(A\overset{\overline{U}}{\sim}B,B\overset{\overline{U}}{\sim}C\implies A\overset{\overline{U}}{\sim}C\)。

Schur 引理 设 \(A\in M_n(\mathbb{F})\) 的特征根全在 \(\mathbb{F}\) 中，则存在酉阵 \(U\in M_n(\mathbb{F})\) 使得 \(U^{-1}AU\) 是一个上三角阵（即 \(A\) 在 \(\mathbb{F}\) 上酉相似于上三角阵）。

证对 \(A\) 的阶数 \(n\) 用归纳法。

\(n=1\) 时，\(A\) 已是上三角阵。

若 \(n-1\) 时结论成立，设 \(A\in M_n(\mathbb{F})\) 的特征根全在 \(\mathbb{F}\) 中，此时至少有一个特征根 \(\lambda_1\in\mathbb{F}\) 使得 \(A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\)（\(0\neq \alpha_1\in \mathbb{F}^{n\times 1}\)）。

可设 \(\lVert \alpha_1\rVert = 1\)。考虑 \(\alpha_1^\star X=0\) 的一个基础解系（含有 \(n-1\) 个向量），用 Schmidt 正交化、单位化过程，得到 \(\alpha_2,\ldots ,\alpha_n\)，那么 \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_n\) 成为一组标准正交基。

命 \(U_1=(\alpha_1 ,\cdots , \alpha_n)\)，则 \(U_1\) 是酉阵，且

\[ \begin{aligned} AU_1 &= \left(A\alpha_1, A\alpha_2, \cdots , A\alpha_n\right) \\ &= (\lambda_1\alpha_1, A\alpha_2, \cdots, A\alpha_n) \\ &= (\alpha_1,\cdots ,\alpha_n)\begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T} \\ \bm 0 & \large A_1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned} \]

所以 \(U_1^{-1}AU_1=\begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T} \\ \bm 0 & \large A_1 \end{pmatrix}\)，其中 \(A_1\in M_{n-1}(\mathbb{F}), \beta\in\mathbb{F}^{n\times 1}\)

因为 \(|xE_{n}-A|=|xE_{n}-U^{-1}AU|=\left|x\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & E_{n-1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T} \\ 0 & A_1\end{pmatrix}\right|=(x-\lambda_1)|xE_{n-1}-A_1|\)

且 \(A\) 的特征根全在 \(\mathbb{F}\) 中，

所以 \(A_1\) 的特征根全在 \(\mathbb{F}\) 中。由归纳假设，存在 \(n-1\) 阶酉阵 \(T\) 使得 \(T^{-1}A_1T=\begin{pmatrix}\lambda_2 & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}\)。

命 \(U_2=\begin{pmatrix}1 & \bm 0^\mathrm{T} \\ \bm 0 & T\end{pmatrix}\)，则 \(U_2\) 是酉阵。

命 \(U=U_1U_2\)，则 \(U\in M_n(\mathbb{F})\) 是酉阵，且

\[ \begin{aligned} U^{-1}AU &= U_2^{-1} U_1^{-1} AU_1U_2 = U_2^{-1} \begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T} \\ \bm 0 & \large A_1 \end{pmatrix} U_2 \\ &= \begin{pmatrix}1 & \bm 0^\mathrm{T} \\ \bm 0 & T^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T} \\ \bm 0 & \large A_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \bm 0^\mathrm{T} \\ \bm 0 & T\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\lambda_1 & \beta^\mathrm{T}T \\ \bm 0 & T^{-1}A_1T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}\\ \end{aligned} \]

即 \(A\) 在 \(\mathbb{F}\) 上酉相似于上三角阵，所以阶数为 \(n\) 时也成立。

正规阵

定义若 \(A\in M_n(\mathbb{F})\) 满足 \(A^\star =A\)，则称 \(A\) 为 Hermite 阵。

定义若 \(A\in M_n(\mathbb{F})\) 满足 \(A^\star A=AA^\star\)，则称 \(A\) 为正规阵。

小结：几类特殊的矩阵

正规阵：\(A^\star A=AA^\star\)。下面这些矩阵都是正规阵：

酉阵：\(A^\star A=AA^\star=E \iff A^\star=A^{-1}\)
实的酉阵为正交阵：\(\overline A = A\)，\(A^\mathrm{T}A=AA^\mathrm{T}=E\iff A^\mathrm{T}=A^{-1}\)
Hermite 阵：\(A^\star=A\)
实的 Hermite 阵为实对称阵：\(\overline A=A\)，\(A^\mathrm{T}=A\)

引理设 \(A\) 是正规阵，\(\alpha\) 是 \(A\) 的对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量，则 \(\alpha\) 也是 \(A^\star\) 的对应于特征值 \(\overline\lambda\) 的特征向量。

证因为 \(A\) 是正规阵，\(A^{\star} A=A A^{\star}\)，从而

\[ \begin{aligned} (A-\lambda E)^{\star}(A-\lambda E) &=\left(A^{\star}-\bar\lambda E\right)(A-\lambda E) \\ &=A^{\star} A-(\lambda+\bar{\lambda}) A+\bar\lambda \lambda E \\ &=A A^{\star}-(\bar\lambda+\lambda) A+\lambda\bar\lambda E \\ &=(A-\lambda E)(A-\lambda E)^{\star} \end{aligned} \]

由于 \(A \alpha=\lambda \alpha\)，因而 \((A-\lambda E) \alpha=0\)，所以

\[ \begin{aligned} &\phantom{=} \left[(A-\lambda E)^{\star} \alpha,(A-\lambda E)^{\star} \alpha\right] \\ &= \left[\alpha,(A-\lambda E)(A-\lambda E)^{\star} \alpha\right] \\ &= \left[\alpha,(A-\lambda E)^{\star}(A-\lambda E) \alpha\right] \\ &= \left[(A-\lambda E) \alpha,(A-\lambda E) \alpha\right] \\ &= 0 \end{aligned} \]

于是 \(A^\star\alpha-\bar\lambda\alpha=(A-\lambda E)^\star\alpha=0\)，即 \(A^\star\alpha=\bar\lambda\alpha\)。引理得证。

定理正规阵 \(A\) 的对应于不同特征值的特征向量是正交的。

证设 \(\lambda_1,\lambda_2\) 是 \(A\) 的不同特征值，对应的特征向量分别是 \(\alpha,\beta\)，则

\[ A\alpha=\lambda_1\alpha,\ A^\star\beta=\bar\lambda_2\beta \]

又因为 \([A\alpha,\beta]=[\alpha,A^\star\beta]\)，所以 \([\lambda_1\alpha,\beta]=[\alpha, \bar \lambda_2 \beta]\)，

于是 \(\bar\lambda_1[\alpha,\beta]=\bar\lambda_2[\alpha,\beta]\)

因为 \(\lambda_1\neq \lambda_2\)，所以 \(\bar\lambda_1\neq \bar\lambda_2\)，故必有 \([\alpha,\beta]=0\)。

正规阵基本定理 设 \(A\in M_n(\mathbb{F})\) 的特征根全在 \(\mathbb{F}\) 中，且 \(\mathbb{F}\) 具有性质“\(\forall a,b\in\mathbb{R}, a+b\mathrm{i}\in\mathbb{F}\iff a-b\mathrm{i}\in\mathbb{F}\)”，则 \(A\) 在 \(\mathbb{F}\) 上酉相似于一个对角阵 \(\iff A\) 是一个正规阵。

证 “\(\implies\)”：设酉阵 \(U\in M_n(\mathbb{F})\) 使得 \(U^{-1}AU=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}\)，则

\[ A=U\begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}U^{-1},\quad A^\star=U\begin{pmatrix}\bar\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \bar\lambda_n\end{pmatrix}U^{-1} \]

所以

\[ \begin{aligned} AA^\star &= U\begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}U^{-1}U\begin{pmatrix}\bar\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \bar\lambda_n\end{pmatrix}U^{-1} \\ &= U\begin{pmatrix}\lambda_1\bar\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\bar\lambda_n\end{pmatrix}U^{-1} \\ &= U\begin{pmatrix}\bar\lambda_1\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \bar\lambda_n\lambda_n\end{pmatrix}U^{-1} = A^\star A\\ \end{aligned} \]

“\(\impliedby\)”：设 \(A^\star A=AA^\star\)，由 Schur 引理，存在酉阵 \(U\in M_n(\mathbb{F})\) 使得

\[ U^\star AU=\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & b_{nn} \end{pmatrix}=:B \]

而由 \(A^\star A=AA^\star\)，得 \(U^\star A^\star U\cdot U^\star AU=U^\star A^\star AU=U^\star AA^\star U=U^\star A U\cdot U^\star A^\star U\)，所以

\[ \begin{pmatrix}\overline{b_{11}} & & 0 \\ \vdots & \ddots & \\ \overline{b_{1n}} & \cdots & \overline{b_{nn}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & b_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & b_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\overline{b_{11}} & & 0 \\ \vdots & \ddots & \\ \overline{b_{1n}} & \cdots & \overline{b_{nn}} \end{pmatrix} \]

依次比较两边对角线上元素，得

\[ \begin{array}{c} |b_{11}|^2=|b_{11}|^2+|b_{12}|^2+\cdots +|b_{1n}|^2 \implies b_{12}=\cdots =b_{1n}=0 \\ |b_{22}|^2=|b_{22}|^2+|b_{23}|^2+\cdots +|b_{2n}|^2 \implies b_{23}=\cdots =b_{2n}=0 \\ \cdots \end{array} \]

故有 \(i<j\) 时，\(b_{ij}=0\)，即 \(B\) 为对角阵。所以 \(A\) 在 \(\mathbb{F}\) 上酉相似于一个对角阵。

推论酉阵、Hermite 阵必酉相似于对角阵。

Hermite 阵

命题 Hermite 阵的特征根均为实数。

证设 \(A\) 是 Hermite 阵（\(A^\star=A\)），\(\lambda\in\mathbb{C}\) 是 \(A\) 的一个特征根，于是存在 \(0\neq \alpha\in\mathbb{C}^{n\times 1}\) 使 \(A\alpha=\lambda\alpha\)。那么有

\[ [A\alpha,\alpha]=[\alpha, A^\star\alpha]=[\alpha,A\alpha] \]

于是 \([\lambda\alpha,\alpha]=[\alpha,\lambda\alpha]\)，即 \(\bar\lambda[\alpha,\alpha]=\lambda[\alpha,\alpha]\)。

因为 \(\alpha\neq 0\implies[\alpha,\alpha]\neq 0\)，故必有 \(\bar\lambda=\lambda\)，即 \(A\) 的特征根为实数。

一些性质：

\(\forall A\in M_n(\mathbb{R})\)，\(A=\underbrace{\frac{1}{2}(A+A^\mathrm{T})}_{\text{实对称}}+\underbrace{\frac{1}{2}(A-A^\mathrm{T})}_{\text{实反对称}}\)。

\(\forall B_{m\times n}\)，\(BB^\star\) 与 \(B^\star B\) 均为 Hermite 阵。

命题 \(\operatorname{r}(BB^\star)=\operatorname{r}(B)=\operatorname{r}(B^\star B)\)。

证由于 \(BX=0\implies B^\star BX=0\)，故 \(BX=0\) 的解均为 \(B^\star BX=0\) 的解。

反过来，如果 \(\alpha\in \mathbb{C}^{n\times 1}\) 使 \(B^\star B\alpha=0\)，则有 \(\alpha^\star B^\star B\alpha=0\)，即 \([B\alpha,B\alpha]=0\implies B\alpha=0\)，所以 \(B^\star BX=0\) 的解也是 \(BX=0\) 的解。

所以 \(BX=0\) 与 \(B^\star BX=0\) 在 \(\mathbb{C}\) 中同解。由基础解系基本定理，\(n-\operatorname{r}(B)=n-\operatorname{r}(B^\star B)\implies \operatorname{r}(B)=\operatorname{r}(B^\star B)\)。

同理，\(\operatorname{r}(B)=\operatorname{r}(B^\star)=\operatorname{r}(BB^\star)\)。

实对称阵

设 \(A\) 是实对称阵，由正规阵基本定理，存在酉阵 \(U\) 使得 \(U^{-1}AU=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix}\)。

实对称阵是 Hermite 阵，故其特征值全是实数，特征向量是实系数线性方程组 \((\lambda_i E-A)X=0\) 的非零解向量，因而可取实向量。这样，在酉相似于实对角阵时可取实酉阵，即正交阵作为过渡矩阵。

定理实对称阵必正交相似于实对角阵。